2 - Radar Denklemi: Sistemin Kalbindeki Matematik

Bu yazı, MIT Lincoln Laboratuvarı "Introduction to Radar Systems" ders serisinin ikinci bölümünü (Lecture 2 - The Radar Equation) temel almaktadır. Radar denklemi, bir radar sisteminin tespit yeteneğini belirleyen tüm faktörleri matematiksel olarak bir araya getirir. Bu denklem, radar mühendisliğinin temel taşıdır ve sistem tasarımından performans analizine kadar her aşamada kullanılır.

1. Radar Denklemi Neden Önemli?

Bir radar sistemi tasarlarken veya mevcut bir sistemi değerlendirirken şu soruları yanıtlamanız gerekir:

• Bu radar ne kadar uzaktaki hedefleri görebilir?

• Belirli bir menzilde ne kadar küçük hedefleri tespit edebilir?

• Verici gücünü iki katına çıkarırsam menzil ne kadar artar?

• Anten boyutunu yarıya indirirsem performans nasıl etkilenir?

Radar denklemi, tüm bu soruların yanıtını tek bir matematiksel çerçevede sunar. Hedef özellikleri, radar karakteristikleri, mesafe ve ortam koşullarını birbirine bağlar.

2. Radar Denkleminin Türetilmesi

Radar denklemini temel fizik prensiplerinden türetmek, hem denklemi anlamak hem de sınırlarını kavramak açısından önemlidir. Bu türetme için yalnızca cebir ve fiziksel sezgi yeterlidir.

2.1 Adım 1: İzotropik Yayılım

En basit durumla başlayalım: verici, enerjiyi tüm yönlere eşit şekilde (izotropik) yayıyor.

R mesafesindeki güç yoğunluğu:

Güç Yoğunluğu = Pt / (4πR²)

Burada Pt verici gücü, 4πR² ise yarıçapı R olan kürenin yüzey alanıdır. Enerji küre şeklinde yayıldığından, mesafe arttıkça güç yoğunluğu R² ile orantılı olarak azalır.

2.2 Adım 2: Anten Kazancı

Gerçek radarlar enerjiyi tüm yönlere değil, belirli bir yöne odaklar. Bu odaklama, anten kazancı (G) ile ifade edilir.

Yönlü antenden R mesafesindeki güç yoğunluğu:

Güç Yoğunluğu = (Pt × Gt) / (4πR²)

Gt, verici antenin kazancıdır. Kazanç, izotropik antene göre ne kadar fazla güç yoğunluğu sağlandığını gösterir.

2.3 Adım 3: Hedef Radar Kesiti

Hedefe ulaşan enerji, hedefin radar kesiti (σ) ile orantılı olarak yansır. Radar kesiti, hedefin elektromanyetik "boyutu"nu temsil eder.

Hedeften yansıyan güç:

Pyansıyan = [(Pt × Gt) / (4πR²)] × σ

2.4 Adım 4: Geri Dönüş Yayılımı

Yansıyan enerji, hedeften radara geri dönerken tekrar küresel olarak yayılır. Bu nedenle bir 1/R² faktörü daha eklenir.

Radar antenindeki güç yoğunluğu:

Güç Yoğunluğu (radar) = [(Pt × Gt × σ)] / [(4π)² × R⁴]

Kritik gözlem: Güç yoğunluğu artık R⁴ ile orantılı olarak azalıyor — gidiş için R², dönüş için R².

2.5 Adım 5: Alıcı Anten

Alıcı anten, etkin alanı (Ae) ile orantılı enerji toplar:

Pr = [(Pt × Gt × σ × Ae)] / [(4π)² × R⁴]

Aynı anten hem iletim hem alım için kullanıldığında, Ae = (Gt × λ²) / (4π) olduğundan:

Pr = [(Pt × G² × λ² × σ)] / [(4π)³ × R⁴]

3. Gürültü ve Sinyal-Gürültü Oranı

Radar alıcısı sadece hedef ekosunu değil, aynı zamanda gürültüyü de alır. Tespit yeteneği, sinyalin gürültüye göre ne kadar güçlü olduğuna bağlıdır.

3.1 Gürültü Kaynakları

Galaktik Gürültü: Uzaydan gelen mikrodalga radyasyonu

Güneş Gürültüsü: Güneşten kaynaklanan elektromanyetik emisyonlar

Atmosferik Gürültü: Yıldırım ve diğer atmosferik olaylar

Yapay Gürültü: Diğer radarlar, radyo istasyonları, elektrik hatları

Termal Gürültü: Alıcı elektroniğinin kendi ısısından kaynaklanan gürültü

Kasıtlı Karıştırma: Düşman tarafından yayılan jamming sinyalleri

3.2 Gürültü Gücü Formülü

Tüm gürültü kaynakları, eşdeğer bir sistem sıcaklığı (Ts) ile temsil edilir:

Pn = k × Ts × Bn

Burada:

• k = Boltzmann sabiti (1.38 × 10⁻²³ J/K)

• Ts = Sistem gürültü sıcaklığı (Kelvin)

• Bn = Alıcı bant genişliği (Hz)

3.3 Sinyal-Gürültü Oranı (SNR)

Sinyal-gürültü oranı, radarın tespit yeteneğinin temel ölçüsüdür:

SNR = Pr / Pn = [(Pt × G² × λ² × σ)] / [(4π)³ × R⁴ × k × Ts × Bn × L]

L, sistemdeki tüm kayıpları temsil eder (daha sonra detaylandırılacak).

Tipik ifade: "Bu radar, 1000 km mesafede 1 m² hedef için 13 dB SNR sağlar." Bu cümle, radarın tespit yeteneğini özetler.

4. Gözetleme ve Takip Radar Denklemleri

Şimdiye kadar türettiğimiz denklem, antenin doğrudan hedefe baktığı durumu varsayar. Ancak gerçek operasyonlarda iki farklı senaryo vardır:

4.1 Gözetleme (Search) Denklemi

Hedefin konumu bilinmediğinde, radar belirli bir açısal alanı taramalıdır. Bu durumda denklem şu forma dönüşür:

Pav × Ae = [(4π × k × Ts × L × Ω × R⁴)] / [(σ × ts × SNR)]

Burada:

• Pav = Ortalama güç

• Ae = Anten etkin alanı

• Ω = Taranan katı açı (steradyan)

• ts = Tarama süresi

Önemli gözlem: Gözetleme denkleminde dalga boyu (λ) görünmez — güç gereksinimi frekansdan bağımsızdır.

4.2 Takip (Track) Denklemi

Hedef tespit edildikten sonra, konum ve hız bilgilerini güncellemek için takip yapılır. Bu durumda standart radar denklemi (dalga boyuyla birlikte) geçerlidir.

Tasarım süreci: Bir radar tasarlarken önce gözetleme denklemini kullanarak sistemi boyutlandırın, sonra takip denklemini kullanarak performansı doğrulayın.

5. R⁴ Yasasının Dramatik Etkisi

Radar denkleminin en çarpıcı özelliği, alınan gücün mesafenin dördüncü kuvvetiyle azalmasıdır. Bu, tasarımda büyük zorluklar yaratır.

5.1 Menzil İki Katına Çıkarma Problemi

Soru: 1000 km menzile sahip bir radarın menzilini 2000 km'ye çıkarmak için ne yapmalıyız?

Menzili 2 kat artırmak = R⁴'te 16 kat artış = 12 dB kayıp

Bu kaybı telafi etmek için aşağıdakilerden birini yapabilirsiniz:

Karşılaştırma: Diğer tüm parametreler (hedef kesiti, tarama alanı, süre) doğrusal ilişkiye sahiptir. Yarı boyutta hedef görmek için gücü sadece 2 kat artırmak yeterlidir. Ancak menzili 2 kat artırmak 16 kat güç gerektirir.

6. Gerçek Dünya Radarları: Beş Örnek

Radar denkleminin pratikte nasıl uygulandığını görmek için, ABD'de sivil amaçlarla kullanılan beş farklı radar sistemini inceleyelim.

6.1 Havalimanı Gözetleme Radarı (ASR-9)

Konum: Tüm büyük havalimanları

Görev: Terminal alanı içindeki (50-60 mil) uçakları tespit ve takip etme

Özellikler:

• Ortalama güç: ~1 kW

• Tepe güç: ~1 MW

• Frekans: S-band (2800 MHz, ~10 cm)

• Anten çapı: ~2 metre eşdeğer

• Dönüş hızı: 12.8 RPM (~5 saniyede 360°)

Not: Bu radarlar, beacon transponder sistemiyle birlikte çalışır. Radar (birincil) hedefi tespit ederken, beacon sistemi uçağın kimlik ve irtifa bilgilerini alır.

6.2 Zemin Hareket Radarı (ASDE)

Konum: Hava trafik kontrol kulesinin tepesinde

Görev: Pist ve apron alanındaki uçak ve araç hareketlerini izleme

Özellikler:

• Frekans: Ku-band (~16.5 GHz, ~2 cm)

• Menzil: ~7 km (pist uzunluğu kadar)

• Çözünürlük: Çok yüksek

• Güç: Düşük (kısa menzil)

• Dönüş: 60 RPM

6.3 Hava Yolu Gözetleme Radarı (ARSR)

Konum: Kıyı bölgeleri ve stratejik noktalar

Görev: Uzun menzilli hava trafiği gözetleme (~200 mil)

Özellikler:

• Yüksek ortalama güç

• Büyük anten boyutu

• Sivil (FAA) ve askeri (USAF) ortak kullanım

• Yurt dışından gelen uçakların takibi

6.4 Meteoroloji Radarı (NEXRAD / WSR-88D)

Konum: Tüm ülke genelinde yaygın ağ

Görev: Hava durumu izleme, yağış ve fırtına tespiti

Özellikler:

• Frekans: S-band (yağışı iyi görür)

• Yüksek ortalama güç

• Büyük parabolik anten

• Doppler yeteneği (rüzgar hızı ölçümü)

• Yavaş ve hassas tarama

Doppler işleme sayesinde yağmur bulutlarının radyal hızı ölçülür. Gelişmiş algoritmalar tornado uyarısı, hortum tespiti gibi tahminler yapabilir.

6.5 Terminal Doppler Hava Durumu Radarı (TDWR)

Konum: Rüzgar kayması riski yüksek havalimanları

Görev: Microburst (ani aşağı rüzgar) tespiti

Kritik güvenlik işlevi: Microburst, iniş/kalkış sırasında son derece tehlikelidir. Pilot, önce yukarı iten rüzgarı dengelemek için uçağı bastırır; ardından rüzgar yönü tersine döndüğünde uçak hızla yere itilir. TDWR öncesi bu fenomen birçok ölümcül kazaya yol açmıştır.

7. Radar Kayıpları: "Sistemin İnsanlığı"

Radar denklemi ideal bir sistemi tanımlar. Gerçek dünyada, her aşamada enerji kaybedilir. Bu kayıplar, radar mühendislerinin "sistemin insanlığı" dediği etkenlerdir.

7.1 İletim Zinciri Kayıpları

Dalga Kılavuzu Kaybı: Enerji, vericiden antene taşınırken ısıya dönüşür.

Radom Kaybı: Koruyucu örtü, sinyali zayıflatır.

Döner Eklem Kaybı: Dönen antenler için bağlantı noktasındaki kayıp.

Filtre Kayıpları: Frekans şekillendirme filtreleri.

Işın Yönlendirme Kaybı: Hedef tam ışın merkezinde değilse.

Atmosferik Zayıflama: Özellikle yüksek frekanslarda önemli.

7.2 Alım Zinciri Kayıpları

İletim kayıplarının çoğu, alım sırasında da geçerlidir. Ek olarak:

A/D Kuantalama Kaybı: Analog-dijital dönüşümdeki hassasiyet kaybı.

Eşik Kayıpları: CFAR ve diğer adaptif eşik sistemleri.

Menzil/Doppler Straddling: Hedef iki hücre arasına düştüğünde.

Entegrasyon Kaybı: Non-koherent entegrasyon ideal değildir.

7.3 Saha Bozunması (Field Degradation)

Laboratuvarda mükemmel çalışan bir radar, sahada zamanla performans kaybeder:

• Verici gücü düşer

• Dalga kılavuzuna nem sızar

• Alıcı gürültü figürü artar

• Bileşenler yaşlanır

• Kablolar gevşer veya korozyona uğrar

Pratik kural: Tasarımda 3 dB saha bozunması marjı bırakmak mantıklıdır.

7.4 Tipik Kayıp Değerleri

Uyarı: 20-25 ayrı kayıp parametresinin her biri 0.1-0.2 dB sapsa, toplam hata 5 dB'e ulaşır. Bu, menzili %30 azaltır!

8. Örnek Hesaplama: ASR-9 Radarı

Problem: ASR-9 havalimanı gözetleme radarının, 60 deniz mili mesafedeki küçük bir uçağı (1 m² RCS) tespit edip edemeyeceğini doğrulayın.

8.1 Radar Parametreleri

8.2 Hesaplama Adımları

Adım 1 - Birim Dönüşümleri:

• Menzil: 60 deniz mili = 111 km = 1.11 × 10⁵ m

• Dalga boyu: c/f = 3×10⁸ / 2.8×10⁹ ≈ 0.103 m

• Kazanç (doğal): 10^(33/10) = 2000

Adım 2 - Tek Darbe SNR:

Radar denklemi uygulandığında:

SNR (tek darbe) = 1.35 ≈ 1.3 dB

Adım 3 - Koherent Entegrasyon:

Hedef üzerindeki darbe sayısı: ~21 darbe

Entegrasyon kazancı = 10 × log₁₀(21) = 13.2 dB

Adım 4 - Toplam SNR:

SNR (toplam) = 1.3 dB + 13.2 dB = 14.5 dB

Sonuç: 14.5 dB SNR, 13 dB eşiğinin üzerindedir. Radar, hedefi güvenilir şekilde tespit edebilir.

9. Tespit Süreci: Büyük Resim

Radar denklemi, ortalama SNR'ı verir. Ancak hem gürültü hem de hedef sinyali rastgele değişkenlerdir — dalgalanırlar.

9.1 Gürültü İstatistikleri

Gürültü genellikle Gaussian dağılımına sahiptir. Ortalama değerin etrafında rastgele dalgalanır. Bazen ortalamadan çok yüksek, bazen çok düşük değerler alır.

9.2 Hedef Dalgalanması

Karmaşık hedefler (uçak, gemi) sabit RCS'e sahip değildir:

• Farklı parçalardan gelen yansımalar koherent olarak toplanır

• Küçük açı değişimleri yapıcı/yıkıcı girişime neden olur

• Titreşimler bile RCS'i değiştirebilir

• Yalnızca küre sabit RCS'e sahiptir

9.3 Eşik Kararı ve Olasılıklar

Tespit, bir eşik karşılaştırmasıyla yapılır. İki olasılık tanımlanır:

Tespit Olasılığı (Pd): Gerçek hedefin tespit edilme olasılığı.

Yanlış Alarm Olasılığı (Pfa): Gürültünün hedef olarak algılanma olasılığı.

Ideal durumda, sinyal ve gürültü dağılımları tamamen ayrık olsaydı, araya net bir eşik koyabilirdik. Gerçekte dağılımlar örtüşür ve trade-off gerekir.

10. Tasarım Sürecinde Radar Denklemi

10.1 Steve Weiner'ın Sözü

"Radar denklemi, herkesin kullanmayı öğrenebileceği kadar basit, ancak dikkatli olunmazsa herkesin hata yapabileceği kadar karmaşıktır."

10.2 Pratik Öneriler

Birim tutarlılığı: Tüm birimler MKS (metre, kilogram, saniye) olmalı. Kilometre ile metre karıştırmayın.

Şablon kullanın: Excel tablosu oluşturun, birimleri doğrulayın, formülleri sabitleyin.

Sanity check: Sonuç mantıklı mı? Bilinen bir radarla karşılaştırın.

dB vs doğal birim: Hesaplamada karıştırmayın. dB'de çarpma = toplama, bölme = çıkarma.

Gizli kısıtlamalar: Maliyet, boyut, ağırlık, teknoloji limitleri — denklem dışı faktörler.

10.3 Trade-off Örneği

Aynı performansı elde etmenin birden fazla yolu olabilir:

• Daha büyük anten + daha az güç

• Daha uzun tarama süresi + daha küçük sistem

• Daha yüksek frekans + daha kompakt tasarım (ancak atmosferik kayıp artar)

Gerçek kısıtlamalar: Uçak radarı için anten çapı sınırlı (burun koni boyutu). Taşınabilir radar için ağırlık sınırlı. Bütçe her zaman sınırlı.

Bu Bölümde Ne Öğrendik?

✓ Radar denkleminin fiziksel temellerden türetilmesi

✓ R⁴ yasasının performans üzerindeki dramatik etkisi

✓ Gözetleme ve takip denklemleri arasındaki farklar

✓ Gürültü kaynakları ve sinyal-gürültü oranı kavramı

✓ Beş farklı sivil radar sisteminin karşılaştırmalı analizi

✓ Sistem kayıplarının kaynakları ve tipik değerleri

✓ Pratik hesaplama örneği (ASR-9)

✓ Tespit sürecinin olasılıksal doğası

✓ Tasarım sürecinde radar denkleminin kullanımı

Özet formül:

SNR = (Pt × G² × λ² × σ) / [(4π)³ × R⁴ × k × Ts × Bn × L]

Bu denklem, radar mühendisliğinin DNA'sıdır. Her tasarım kararı, her performans değerlendirmesi bu denklemin bir versiyonuna dayanır.

Kaynak: MIT Lincoln Laboratory, "Introduction to Radar Systems Online" - Lecture 2: The Radar Equation, 2018.